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双实体,将截断的十二面体变形为三面体二十面体项目3

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发布时间:2021/3/22 10:18:00
妮可·范奥尔特
02/29/16
乔治梅森大学
数学493三维打印数学
显示了从截短的十二面体到它的对偶三面体二十面体的变形。
截断的十二面体是13个阿基米德实体中的一个,这意味着它是一个凸多面体,由两个或多个在相同顶点相交的正多边形组成。截断十二面体由20个三角形面和12个十边形面组成,有90条边和60个顶点。多面体通常与决斗配对,这意味着一个多面体的面对应于另一个多面体的顶点。这组与阿基米德固体的决斗被称为加泰罗尼亚固体,Eugène Catalan在1865年描述。对于截短的十二面体,它的对偶或配对是三面体二十面体。这个多面体有60个等腰三角形面,有90个边和32个顶点。请注意,截断的十二面体有32个面,三面体二十面体有32个顶点。另外,截断十二面体有60个顶点,而三面体二十面体有60个面。因此,决斗的面和顶点之间的关系可以从数值上看出来。
从多面体本身获得多面体决斗的方式是多种多样的。我使用的方法是截断。这意味着原始多面体的顶点被不断地切割或缩短到中点,直到多面体的原始面消失,决斗出现。这是由于这样一个事实,即一个被均匀截断的正多边形(在每个顶点处被平均截断)将成为另一个正多边形。“截断”一词源于约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)在1620年重新发现的截断阿基米德固体时使用的“截断”一词,此前阿基米德和帕普斯(Pappus)曾对此进行过讨论。(阿基米德固体被认为是阿基米德所描述的,尽管只是通过二手资料听到的。开普勒最终在他写的《世界和谐》一书中重新构建了整个场景。)
选择截断方法的一个好处是mathematica在其多面体运算包下有一个截断函数。它还有多个众所周知的polyheda在它的PolyhedronData包下,允许您用一个命令生成多个多面体的三维图像。因此,我们的4个实体中有3个用于显示截断多面体向三面体二十面体的变形,这些实体很容易通过mathematica获得,并作为STL文件导出到makerbot中。fit的步骤是将命令“Needs[PolyhedronOperatio]”导入到mathematica中,调用我们需要继续的其他polyhedra命令。然后要产生变形的合适步骤,或者原始的截断十二面体,我们有两个选择。合适的方法是使用命令“PolyhedronData[”truncatedodecahedron“]直接调用截断的十二面体。另一种方法,可以在下面的mathematica图像中看到,使用截断操作,通过PolyhedronOperatio包引入,将十二面体截断为截断的十二面体。其次,为了开始初始截断过程,我们现在可以进一步截断截断十二面体,通过截断得到合适的变形步骤。这就产生了一个多面体,其圆形面以十面形为底。Truncate命令的另一个很好的特性是,它允许您指定从0到0.5的截断比率,其中0.5表示多面体向其对偶方向被截断了一半。我用0.3作为我的比率来截断决斗的三分之一。此代码可在下面找到。最后,我使用mathematica和Polyhedron Data命令获得了Triakis二十面体决斗的三维图像,这是一个存储在mathematica数据库中的多面体。要将这三个多面体转换为STL文件,并将其转换为MakerBot,可以使用Export命令,指定导出.STL文件。
mathematica中的Truncate命令的问题是,它不允许截断超过中点,因此要达到我的决斗的三分之二(将变形过程分解为4步实体),我需要使用OpeCAD itead。为了理解我所寻找的多面体,我使用了Stella4D演示软件和它的截短工具,使我能够从原来截短的十二面体可视化和滚动到它的决斗和返回。我用软件找到了0.6%的截短量,得到了我在OpeCAD中寻找的多面体的图像。为了得到这个多面体,我把截短的十二面体和三面体的STL文件导入到OpeCAD中。关键是一个面的是另一个面的边,因此需要旋转三面体二十面体,直到其顶点位于截断十二面体面的中间,以便截断正常工作。然后使用inteection命令,该命令与多面体的截断相关,因为您要切割较大的多面体(截断的十二面体)的边,直到它与较小的多面体(traikis二十面体)的边相交,我把三面体二十面体和截短的十二面体连接起来,截短了截短的十二面体。正如你在下面的OpeCAD图片中看到的,我必须使用适当的数字来处理,直到得到一个多面体,它类似于我在Stella4D演示工具中生成的多面体,或者多面体被截断了三分之二。因此,当我观察到这个多面体时,我也将它渲染到一个STL文件中。
最后,我在MakerBot中将所有4个STL文件合并成一个.thing文件,对它们进行等比缩放,然后导出打印。
由于Mathematica中多面体运算包的易用性,该项目的代码和等式非常简单。如果对要使用的Mathematica代码产生混淆,Mathematica帮助窗口将提供出色的itruction。变形的每个步骤的所有STL文件,以及多面体的Mathematica和OpeCAD文件都可以在thing文件下找到。
引用: solid
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